Équations hyperboliques non-linéaires sur les variétés : méthodes de volumes finis et méthodes spectrales

La premiere partie de ce travail de these est consacree a l'etude de la methode des volumes finis pour les lois de conservation hyperboliques sur une variete riemannienne ou lorentzienne. On prouve d'abord des estimations fines de la variation totale pour les lois de conservation scalaires sur une variete riemannienne. Ensuite, on etablit la convergence forte des methodes de volumes finis du premier ordre pour ces equations dans le cas riemannien. Finalement, on etend ce resultat de convergence a des varietes lorentziennes. La deuxieme partie porte sur l'application d'une methode pseudo-spectrale de Fourier pour resoudre numeriquement des equations hyperboliques non-lineaires singulieres issues d'un mo\-de\-le en theorie de la relativite generale: les espaces-temps de Gowdy. Notre approche nous permet d'etudier le comportement des solutions de ces equations sur la singularite. Puis, on deduit des estimations de regularite fines pour un modele linearise des equations d'Einstein dans les espaces-temps de Gowdy, moyennant l'utilisation d'espaces de regularite fractionnaire.