Approximation des fonctions de plusieurs variables sous contrainte de convexité

Dans de nombreuses applications, nous souhaitons interpoler ou approcher une fonction de plusieurs variables possedant certaines proprietes ou “formes” geometriques, telles que la regularite, la monotonie, la convexite ou la non-negativite. Ces proprietes sont importantes pourdes applications en physique (par exemple, la courbe pression-volume doit avoir une derivee non negative), aussi bien ou le probleme de l’interpolation conservant la forme est essentiel dans divers problemes de l’industrie (par exemple, modelisation automobile, construction de la surface dumasque). Par consequent, une question importante se pose : comment calculer la meilleure approximation possible a une fonction donnee f lorsque certaines de ses proprietes caracteristiques supplementaires sont connues ?Cette these presente plusieurs nouvelles techniques pour trouver une bonne approximation des fonctions de plusieurs variables par des operateurs lineaires dont l’erreur d’approximation A( f ) - f garde un signe constant pour toute fonction f satisfaisant une certaine convexite generalisee. Nous nous concentrons dans cette these sur la classe des fonctions convexesou fortement convexes. Nous decrirons comment la connaissance a priori de cette information peut etre utilisee pour determiner une bonne majoration de l’erreur pour des fonctions continuellement differentiables avec des gradients Lipschitz continus. Plus precisement, nous montrons que les estimations d’erreur basees sur ces operateurs sont toujours controleespar les constantes de Lipschitz des gradients, le parametre de la convexite forte ainsi que l’erreur commise associee a l’utilisation de la fonction quadratique. En supposant en plus que la fonction que nous voulons approcher est egalement fortement convexe, nous etablissons de meilleures bornes inferieures et superieures pour les estimations d’erreur de l’approximation. Lesmethodes de quadrature multidimensionnelle jouent un role important, voire fondamental, en analyse numerique. Une analyse satisfaisante des erreurs provenant de l’utilisationdes formules de quadrature multidimensionnelle est bien moins etudiee que dans le cas d’une variable. Nous proposons une methode d’approximation de l’integrale d’une fonction reelle donnee a plusieurs variables par des formules de quadrature, qui conduisent a des valeurs approchees par exces (respectivement par defaut) des integrales des fonctions ayantun certain type de convexite. Nous verrons aussi, comme nous l’avons fait pour l’approximation des fonctions, que pour de telles formules d’integration, on peut etablir un resultat de caracterisation en termes d’estimations d’erreur. En outre, nous avons etudie le problemede l’approximation d’une integrale definie d’une fonction donnee quand un certain nombre d’integrales de cette fonction sur certaines sections hyperplanes d’un l’hyper-rectangle sont seulement disponibles.La motivation derriere ce type de probleme est multiple. Il se pose dans de nombreuses applications, en particulier en physique experimentale et en ingenierie, ou les valeurs standards des echantillons discrets des fonctions ne sont pas disponibles, mais ou seulement leurs valeurs moyennes sont accessibles. Par exemple, ce type de donnees apparait naturellement dans la tomographie par ordinateur avec ses nombreuses applications en medecine, radiologie, geologie, entre autres.