Sur une interprétation probabiliste des équations de Keller-Segel de type parabolique-parabolique

En chimiotaxie, le modele parabolique-parabolique classique de Keller-Segel en dimension d decrit l’evolution en temps de la densite d'une population de cellules et de la concentration d'un attracteur chimique. Cette these porte sur l’etude des equations de Keller-Segel parabolique-parabolique par des methodes probabilistes. Dans ce but, nous construisons une equation differentielle stochastique non lineaire au sens de McKean-Vlasov dont le coefficient dont le coefficient de derive depend, de maniere singuliere, de tout le passe des lois marginales en temps du processus. Ces lois marginales couplees avec une transformation judicieuse permettent d’interpreter les equations de Keller-Segel de maniere probabiliste. En ce qui concerne l'approximation particulaire il faut surmonter une difficulte interessante et, nous semble-t-il, originale et difficile chaque particule interagit avec le passe de toutes les autres par l’intermediaire d'un noyau espace-temps fortement singulier. En dimension 1, quelles que soient les valeurs des parametres de modele, nous prouvons que les equations de Keller-Segel sont bien posees dans tout l'espace et qu'il en est de meme pour l’equation differentielle stochastique de McKean-Vlasov correspondante. Ensuite, nous prouvons caractere bien pose du systeme associe des particules en interaction non markovien et singuliere. Nous etablissons aussi la propagation du chaos vers une unique limite champ moyen dont les lois marginales en temps resolvent le systeme Keller-Segel parabolique-parabolique. En dimension 2, des parametres de modele trop grands peuvent conduire a une explosion en temps fini de la solution aux equations du Keller-Segel. De fait, nous montrons le caractere bien pose du processus non-lineaire au sens de McKean-Vlasov en imposant des contraintes sur les parametres et donnees initiales. Pour obtenir ce resultat, nous combinons des techniques d'analyse d’equations aux derivees partielles et d'analyse stochastique. Finalement, nous proposons une methode numerique totalement probabiliste pour approcher les solutions du systeme Keller-Segel bi-dimensionnel et nous presentons les principaux resultats de nos experimentations numeriques.