Topologie de courbes algébriques planes et projection de surfaces analytiques réelles.

Cette these traite de la representation topologique d’objets geometriques definis de facon implicite. La resolution de ce type de probleme releve du domaine de la geometrie algorithmique. Soit VR(P) une courbe algebrique reelle plane definie comme etant le lieu des zeros d’un poly- nome sans facteur carre P ∈ Z[X,Y] de magnitude (d,τ). Le premier resultat principal presente dans ce manuscrit est un algorithme qui calcule un complexe simplicial isotope a VR(P) sans pas- ser par une mise en position generique de VR(P) avec seulement O (d5τ+d6) operations binaires. Il constitue une alternative a l’algorithme de Mehlhorn et al., dont le succes repose sur un processus aleatoire de determination d’une position generique de VR(P). La deuxieme contribu- tion principale de cette these est un algorithme permettant de calculer le graphe des singularites d’une surface analytique reelle Ω ⊂ R3 : etant donnee une surface analytique reelle lisse M defi- nie comme une intersection de deux hypersurfaces reelles dans R4, la surface Ω est l’image de M par la projection canonique de R4 dans R3. La surface Ω comporte, en general, des singularites. Le calcul du graphe des singularites apparait donc comme un probleme sous-jacent dans l’etape de la reconstruction de la topologie globale de Ω.