Resultados de existência e de não existência de soluções para uma classe de equações elípticas

Nesta dissertacao estudamos uma classe de problemas elipticos quase lineares com singularidades no operador e na nao-linearidade. Recentementemuitos resultados foram publicados para esse tipo de problema nos casos em que W ou em que W ´e um dominio exterior tal que 0 / W. Baseados no artigo de Bartsch, Peng e Zhang [3], consideramos o caso menos estudado em que W. Quando 6 0 e > 0, isto e, quando a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg falha, demonstramos uma identidade do tipo de Pohozaev. Consequentemente, esse problema nao possui solucao quandoW e um cone estrelado em relacao a um ponto RN. Modificando algumas condicoes sobre os parâmetros e demonstramos a existencia de uma solucao atraves da minimizacao de um funcional definido em um espaco de Sobolev com propriedades que refletem a geometria do dominio W. Tambem estudamos o caso concreto da desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg. Supondo que 1 p N, > p, /p > /p(, ) demonstramos a existencia de uma solucao atraves da minimizacao do quociente de Rayleigh-Ritz, isto e, A existencia de uma solucao estritamente positiva e de energia minima (conhecida como solucao ground state) e obtida como consequencia do princpio do maximo. Na mesma direcao, usando o fato de que S,(W) e atingido e o princpio do maximo demonstramos um resultado decomparacao para S,(W); precisamente, se W1 W2, entao S,(W1) > S,(W2). No caso de dom´nios diferenciaveis, quando W C2 e com a hipotese de que 0 W, demonstramos um resultado de nao existencia de solucao para alguns tipos de dominios W. A ideia e demonstrar que S,(W) = S,(RN) e usar a invariância do quociente acima para concluir que S,(W) nao e atingido. Baseados nos artigos de Bartsch, Peng e Zhang [3] e de Kou e Peng [17], tambem estudamosum problema de valor de fronteira com condicoes do tipo de Neumann. O principal argumento da demonstracao desse fato e um lema de concentracao-compacidade. Para obtermos uma sequencia de Palais-Smale no n´vel de minimax e com o expoente critico usamos a hipotese de que a curvatura media em 0 W e positiva.