Algebraic power series
2020
Algebraische Potenzreihen sind formale Potenzreihen f(x), fur die ein nicht triviales
Polynom P(x, t) existiert, sodass P(x, f(x)) = 0 gilt. Diese Reihen spielen furwahr
eine solide Rolle in unterschiedlichen Gebieten der Mathematik und finden ihre groste
Bedeutung und ihr Studium in der algebraischen Geometrie und der Kombinatorik.
In den letzten Jahrzehnten wurden standig neue faszinierende Eigenschaften des
Ringes der algebraischen Potenzreihen Kx gefunden, bewiesen und vermutet. Um
diese expliziten Akteure in Griff zu bekommen, wird teilweise auf sehr tiefliegende
Techniken der Algebra zuruckgegriffen. Die Kunst besteht sodann nicht nur in der
gezielten Anwendung schwieriger Theorie, sondern auch in der Fahigkeit, zuruck an
die Oberflache des Handfesten und Expliziten zu kommen. Diese Arbeit bietet zuerst
eine konkrete Einfuhrung in den Ring der algebraischen Potenzreihen als Oberring
der Polynome und Unterring der formalen Potenzreihen, dann wird jedoch eine ganz
andere Sichtweise auf den Protagonisten offenbart: Algebraische Potenzreihen konnen
namlich auch als die Henselisierung der Lokalisierung des Polynomringes betrachtet
werden. Nachdem wir die Henselisierung auch als einen direkten Limes von
bestimmten Ringerweiterungen ansehen konnen, liefert uns das eine neue Konstruktion
fur Kx. Schlieslich wollen wir diese Konstruktion benutzen, um einerseits den
beruhmten Beweis von Denef und Lipshitz uber die Darstellung von algebraischen
Potenzreihen als Diagonalen von rationalen Reihen zu erklaren, und andererseits ein
neues Korollar vorstellen.
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