Algebraic power series

Algebraische Potenzreihen sind formale Potenzreihen f(x), fur die ein nicht triviales Polynom P(x, t) existiert, sodass P(x, f(x)) = 0 gilt. Diese Reihen spielen furwahr eine solide Rolle in unterschiedlichen Gebieten der Mathematik und finden ihre groste Bedeutung und ihr Studium in der algebraischen Geometrie und der Kombinatorik. In den letzten Jahrzehnten wurden standig neue faszinierende Eigenschaften des Ringes der algebraischen Potenzreihen Kx gefunden, bewiesen und vermutet. Um diese expliziten Akteure in Griff zu bekommen, wird teilweise auf sehr tiefliegende Techniken der Algebra zuruckgegriffen. Die Kunst besteht sodann nicht nur in der gezielten Anwendung schwieriger Theorie, sondern auch in der Fahigkeit, zuruck an die Oberflache des Handfesten und Expliziten zu kommen. Diese Arbeit bietet zuerst eine konkrete Einfuhrung in den Ring der algebraischen Potenzreihen als Oberring der Polynome und Unterring der formalen Potenzreihen, dann wird jedoch eine ganz andere Sichtweise auf den Protagonisten offenbart: Algebraische Potenzreihen konnen namlich auch als die Henselisierung der Lokalisierung des Polynomringes betrachtet werden. Nachdem wir die Henselisierung auch als einen direkten Limes von bestimmten Ringerweiterungen ansehen konnen, liefert uns das eine neue Konstruktion fur Kx. Schlieslich wollen wir diese Konstruktion benutzen, um einerseits den beruhmten Beweis von Denef und Lipshitz uber die Darstellung von algebraischen Potenzreihen als Diagonalen von rationalen Reihen zu erklaren, und andererseits ein neues Korollar vorstellen.