Reconstructing Population Density Surfaces from Areal Data: A Comparison of Tobler's Pycnophylactic Interpolation Method and Area-to-Point Kriging

We compare Tobler's pycnophylactic interpolation method with the geostatistical approach of area-to-point kriging for distributing population data collected by areal unit in 18 census tracts in Ann Arbor for 1970 to reconstruct a population density surface. In both methods, (1) the areal data are reproduced when the predicted population density is upscaled; (2) physical boundary conditions are accounted for, if they exist; and (3) inequality constraints, such as the requirement of non-negative point predictions, are satisfied. The results show that when a certain variogram model, that is, the de Wijsian model corresponding to the free-space Green's function of Laplace's equation, is used in the geostatistical approach under the same boundary condition and constraints with Tobler's approach, the predicted population density surfaces are almost identical (up to numerical errors and discretization discrepancies). The implications of these findings are twofold: (1) multiple attribute surfaces can be constructed from areal data using the geostatistical approach, depending on the particular point variogram model adopted—that variogram model need not be the one associated with Tobler's solution and (2) it is the analyst's responsibility to justify whether the smoothness criterion employed in Tobler's approach is relevant to the particular application at hand. A notable advantage of the geostatistical approach over Tobler's is that it allows reporting the uncertainty or reliability of the interpolated values, with critical implications for uncertainty propagation in spatial analysis operations. Reconstruccion de superficies de densidad de poblacion a partir de datos areales. Una comparacion entre la interpolacion picnofilactica de Tobler y krigeaje de area a punto (area-to-point kriging) En el presente estudio compara el metodo de interpolacion picnofilactica uniforme de Tobler con el metodo geostadistico de krigeaje de area a punto (area-to-point kriging). Los dos metodos son aplicados a la distribucion de datos de poblacion de 1970 recolectados en 18 unidades areales censales (census tracts) en Anne Arbor (Michigan, EEUU) con el fin de reconstruir la superficie de densidad poblacional. Los autores muestran que ambos metodos: (1) reproducen los datos areales cuando la poblacion estimada es agregada a escalas mas gruesas; (2) toman en cuenta los limites o bordes fisicos si es que estos existen; y, 3) satisfacen restricciones (condicionantes) de inequidad como por ejemplo, el requisito que los estimados sean mayores a 0 (cero), Los resultados muestran que cuando se utiliza el modelo de variograma deWijsian con las mismas restricciones de limites que el metodo de Tobler, las superficies de densidad de poblacion pronosticadas son casi identicas .El variograma deWijsian corresponde a la funcion Green en la ecuacion de Laplace. Los resultados obtenidos tienen implicaciones de dos tipos: (1) se pueden construir multiples superficies de atributos de datos areales (como poblacion) utilizando metodos geostadisticos, dependiendo de modelo de variograma especifico que se utilice; y, (2) el investigador tiene la responsabilidad de justificar y evaluar si el criterio de suavizado (smoothness) utilizado en el metodo de Tobler es relevante para la aplicacion especifica que se lleva a cabo. Una ventaja notable del metodo geostadistico sobre el de Tobler es que proporciona informacion referente a la incertidumbre o fiabilidad de los valores interpolados. Esta caracteristica tiene consecuencias criticas en la propagacion de dicha incertidumbre (o error) en las operaciones de analisis espaciales subsiguientes. 本文以 密歇根州安娜堡地区1970年18个人口普查分区的面状人口分布数据重构人口密度面为例，对Tobler’s pycnophylactic插值法和面到点的克里金地统计方法进行了对比。两种方法的共同点为：1）当预估的人口密度提高时，面状数据都是重新生成的；2）圴考虑了存在的自然边界条件；3）均满足不等式约束条件，例如预测点非负的要求。试验结果表明，在和 Tobler’s 方法具有相同的边界条件和约束时，当某一方差模型（即对应于拉普拉斯方程中自由空间的格林函数的deWijsian模型）被应用到地统计学方法中时，两种方法所预测的人口密度面大致相同（取决于数值误差和离散化差异）。这些研究结果具有双重启示：1）采用地统计学方法能够重构多重属性面，依赖于所采用的特定的点方差模型，而方差模型的选取并非一定要与Tobler’s的解决方案有关；2）Tobler’s方法中所采用的平滑准则是否需要进行调整是分析人员决定的，并与分析者特定应用有关。地统计学方法相对于Tobler’s统计方法的一个显著优势在于它能够返回插值的不确定性或可靠性，这对于空间分析运算中不确定性传播具有至关重要的影响。