Flots rugueux et inclusions différentielles perturbées

Cette these est composee de trois chapitres independants ayant pour thematique commune la theorie des trajectoires rugueuses. Introduite en 1998 par Terry Lyons, cette approche trajectorielle des equations differentielles stochastiques (EDS) permet l'etude d'EDS dirigees par des processus n'ayant pas la propriete de semi-martingale necessaire a l'application du cadre de l'integration d'Ito. C'est par exemple le cas du mouvement brownien fractionnaire pour un indice de Hurst different d'un demi. Le premier chapitre porte sur les liens entre la theorie des trajectoires rugueuses et celle des structures de regularite qui a ete recemment introduite par Martin Hairer pour resoudre une large classe d'equations aux derivees partielles stochastiques. Nous exposons, avec les outils de cette nouvelle theorie, la definition de l'integrale rugueuse et de la signature d'une trajectoire irreguliere, ce qui nous mene a la resolution d'equations differentielles rugueuses (EDR). Dans le second chapitre, nous nous interessons a la construction de flots d'EDR a partir de leurs approximations en temps petit, appelees presque flots. Nous montrons que sous des conditions faibles de regularite du presque flot, bien que l'unicite des solutions de l'EDR associee ne soit plus assuree, il est possible de selectionner un flot mesurable. Notre cadre general unifie les precedentes approches par flot dues a I. Bailleul, A. M. Davie, P. Friz et N. Victoir. Le dernier chapitre s'attache a l'etude d'une inclusion differentielle perturbee par une trajectoire rugueuse, c'est-a-dire d'une EDR dont la derive est une fonction multivaluee. Nous demontrons, sans hypothese de convexite et avec differentes conditions de regularite sur la derive, l'existence de solution.