Inégalités maximales et estimations Lp des transformées de Riesz des opérateurs de Scrödinger

Cette these comporte trois principaux chapitres et deux annexes qui rappellent des connaissances utiles respectivement sur les classes de Muckenhoupt et sur l'operateur de Schrodinger electromagnetique H(a, V ). Dans le premierchapitre, on se place dans le cas a = 0, on montre des estimations Lp pour desoperateurs de Schrodinger ?Delta+V sur R^n, et leurs racines carrees. Le potentiel est dans une classe de Holder inverse ameliorant les resultats de Shen. On s'appuies sur une inegalite de type Fefferman-Phong amelioree et des inegalites Holder inverse pour des solutions faibles de ?Delta + V et leurs gradients. Dans le deuxieme chapitre, on developpe les techniques utilisees dans le premier en tenant compte de l'effet du champ magnetique. La premiere partie de ce chapitre est consacree a l'etude de l'operateur de Schrodinger magnetique pur. Dans la seconde partie, on tient compte du potentiel electrique V. L'operateur H(a, V ) est vu comme une perturbation de H(a, 0). Tous les resultats sur la bornitude Lp des transformees de Riesz de H(a, V ) avec un a non nul et pour p > 2 sont nouveaux. On retrouve l'inegalite maximale prouvee par Shen et on l'ameliore en allegeant les conditions sur le potentiel electrique. Le troisieme chapitre est consacre a une deuxieme etude de l'operateur de Schrodinger electromagnetique. Les conditions prises sur le champmagnetique sont differentes de celles du deuxieme chapitre. L'idee est de manipulercet operateur d'une facon analogue a celle appliquee dans lechapitre un. En controlant le champ magnetique par le potentiel electrique, H(a, V ) peut etre vu comme une perturbation du Laplacien.