On Numerical Methods for Astrophysical Applications

Diese Arbeit befasst sich mit der Approximation der Losungen von Modellen zur Beschreibung des Stromungsverhaltens in Atmospharen. Im Speziellen umfassen die hier behandelten Modelle die kompressiblen Euler Gleichungen der Gasdynamik mit einem Quellterm bezuglich der Gravitation und die Flachwassergleichungen mit einem nicht konstanten Bodenprofil. Verschiedene Methoden wurden bereits entwickelt um die Losungen dieser Gleichungen zu approximieren. Im Speziellen geht diese Arbeit auf die Approximation von Losungen nahe des Gleichgewichts und, im Falle der Euler Gleichungen, bei kleinen Mach Zahlen ein. Die meisten numerischen Methoden haben die Eigenschaft, dass die Qualitat der Approximation sich mit der Anzahl der Freiheitsgrade verbessert. In der Praxis werden deswegen diese numerischen Methoden auf grosen Computern implementiert um eine moglichst hohe Approximationsgute zu erreichen. Jedoch sind auch manchmal diese grosen Maschinen nicht ausreichend, um die gewunschte Qualitat zu erreichen. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit ist darauf gerichtet, die Qualitat der Approximation bei gleicher Anzahl von Freiheitsgrade zu verbessern. Diese Arbeit ist im Zusammenhang einer Kollaboration zwischen Prof. Klingenberg des Mathemaitschen Instituts in Wurzburg und Prof. Ropke des Astrophysikalischen Instituts in Wurzburg entstanden. Das Ziel dieser Kollaboration ist es, Methoden zur Berechnung von stellarer Atmospharen zu entwickeln. In dieser Arbeit werden vor allem zwei Problemstellungen behandelt. Die erste Problemstellung bezieht sich auf die akkurate Approximation des Quellterms, was zu den so genannten well-balanced Schemata fuhrt. Diese erlauben genaue Approximationen von Losungen nahe des Gleichgewichts. Die zweite Problemstellung bezieht sich auf die Approximation von Stromungen bei kleinen Mach Zahlen. Es ist bekannt, dass Losungen der kompressiblen Euler Gleichungen zu Losungen der inkompressiblen Euler Gleichungen konvergieren, wenn die Mach Zahl gegen null geht. Klassische numerische Schemata zeigen ein stark diffusives Verhalten bei kleinen Mach Zahlen. Das hier entwickelte Schema fallt in die Kategorie der asymptotic preserving Schematas, d.h. das numerische Schema ist auf einem diskrete Level kompatibel mit dem auf dem Kontinuum gezeigten verhalten. Zusatzlich wird gezeigt, dass die Diffusion des hier entwickelten Schemas unabhangig von der Mach Zahl ist. In Kapitel 3 wird ein HLL approximativer Riemann Loser fur die Approximation der Losungen der Flachwassergleichungen mit einem nicht konstanten Bodenprofil angewendet und ein well-balanced Schema entwickelt. Die meisten well-balanced Schemata fur die Flachwassergleichungen behandeln nur den Fall eines Fluids im Ruhezustand, die so genannten Lake at Rest Losungen. Hier wird ein Schema entwickelt, welches sich mit allen Gleichgewichten befasst. Zudem wird eine zweiter Ordnung Methode entwickelt, welche im Gegensatz zu anderen in der Literatur nicht auf einem iterativen Verfahren basiert. Numerische Experimente werden durchgefuhrt um die Vorteile des neuen Verfahrens zu zeigen. In Kapitel 4 wird ein Suliciu Relaxations Loser angepasst um die hydrostatischen Gleichgewichte der Euler Gleichungen mit einem Gravitationspotential aufzulosen. Die Gleichungen der hydrostatischen Gleichgewichte sind unterbestimmt und lassen deshalb keine Eindeutigen Losungen zu. Es wird jedoch gezeigt, dass das neue Schema fur eine grose Klasse dieser Losungen die well-balanced Eigenschaft besitzt. Fur bestimmte Klassen werden Quadraturformeln zur Approximation des Quellterms entwickelt. Es wird auch gezeigt, dass das Schema robust, d.h. es erhalt die Positivitat der Masse und Energie, und stabil bezuglich der Entropieungleichung ist. Die numerischen Experimente konzentrieren sich vor allem auf den Einfluss der Quadraturformeln auf die well-balanced Eigenschaften. In Kapitel 5 wird ein Suliciu Relaxations Schema angepasst fur Simulationen im Bereich kleiner Mach Zahlen. Es wird gezeigt, dass das neue Schema asymptotic preserving und die Diffusion kontrolliert ist. Zudem wird gezeigt, dass das Schema fur bestimmte Parameter robust ist. Eine Stabilitat wird aus einer Chapman-Enskog Analyse abgeleitet. Resultate numerische Experimente werden gezeigt um die Vorteile des neuen Verfahrens zu zeigen. In Kapitel 6 werden die Schemata aus den Kapiteln 4 und 5 kombiniert um das Verhalten des numerischen Schemas bei Flussen mit kleiner Mach Zahl in durch die Gravitation geschichteten Atmospharen zu untersuchen. Es wird gezeigt, dass das Schema well-balanced ist. Die Robustheit und die Stabilitat werden analog zu Kapitel 5 behandelt. Auch hier werden numerische Tests durchgefuhrt. Es zeigt sich, dass das neu entwickelte Schema in der Lage ist, die Dynamiken besser Aufzulosen als vor der Anpassung. Das Kapitel 7 beschaftigt sich mit der Entwicklung eines multidimensionalen Schemas basierend auf der Suliciu Relaxation. Jedoch ist die Arbeit an diesem Ansatz noch nicht beendet und numerische Resultate konnen nicht prasentiert werden. Es wird aufgezeigt, wo sich die Schwachen dieses Ansatzes befinden und weiterer Entwicklungsbedarf besteht.