O Método De Rayleigh-Ritz aplicado a um Problema de Deflexão de Viga utilizando o Matlab
2014
Este trabalho tem como objetivo avaliar os resultados do Metodo de Rayleigh-Ritz (MRR) aplicado ao seguinte Problema de Valor de Contorno (PVC) que modela a deflexao de uma viga apoiada sobre seus extremos: { ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) A solucao exata de ( ) ( ) e aproximada por uma combinacao linear de funcoes de base . ( ) ( ) As funcoes devem satisfazer as condicoes de fronteira e serem linearmente independentes. Para atender esta imposicao selecionamos como funcoes de base, as funcoes lineares por partes expressas por: ( ) { ilustradas graficamente na figura . Em ( ) temos que . A escolha deste espacamento nao constante, possibilita que a aproximacao seja melhorada utilizando o mesmo numero nodos. ( ) Figura . Representacao grafica de ( ). ( ) ( ) ( ) (7) Para determinar os coeficientes e necessario, de acordo com [ ], minimizar o funcional associado ao PVC ( ), portanto, de forma geral temos que: ( ) ( ) [ ( ) ] ( )[ ( )] ( ) ( ) Para tanto, substituimos (2) na equacao ( ) obtendo: { ( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) } O valor minimo do funcional ocorre quando sua derivada parcial em relacao a e igual a , ou seja Entao, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A equacao ( ) pode ser representada matricialmente na forma , onde e uma matriz tridiagonal de ordem , e seus elementos sao expressos por { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Os elementos do vetor sao dados por ( ) ( ) Para validar a solucao aproximada de ( ) consideremos o PVC que tem solucao conhecida: { ( ) ( ) ( ) ( ) O qual tem solucao exata ( ) ( )( ) O algoritmo MRR foi implementado em linguagem de programacao do software Matlab. Com , e , e assumindo respectivamente os valores , e , ilustramos graficamente os resultados na figura , em que: a aproximacao obtida pelo MRR, ( ), esta em azul; a solucao exata, ( ), esta em vermelho; o erro absoluto, ( ) ( ) ( ) , esta em verde. (11) ( ) ( ) (8) (9) (10) ( ) Figura 3. ( ) ( ) e ( ), com , e . Na tabela , sao apresentados os valores dos erros absolutos para as simulacoes ilustradas na figura , e seu padrao sugere a convergencia de ( ) para ( ), a medida que aumentarmos a quantidade de nodos. Adicionalmente podemos verificar nas simulacoes que o erro e maior no centro do intervalo, portanto a liberdade de escolha de cada pode ser usada para limitar o erro absoluto maximo. Por exemplo, para com , e , o erro absoluto maximo e aproximadamente.
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