Analyse fonctionnelle et harmonique des espaces Lp non-commutatifs associés aux groupes quantiques compacts

Cette these a pour but d'etudier l'analyse sur les groupes quantiques compacts. Elle se compose de deux parties. La premiere presente la classification des semi-groupes de Markov invariants sur ces espaces homogenes quantiques. Les generateurs de ces semi-groupes sont consideres comme des operateurs de Laplace sur ces espaces. La sphere classique , la sphere libre et la sphere semi-liberee sont considerees comme des exemples et les generateurs de semi-groupes de Markov sur ces spheres sont classes. Nous calculons aussi les dimensions spectrales des trois familles de spheres en fonction du comportement asymptotique des valeurs propres de leur operateur de Laplace. Dans la deuxieme partie, nous etudions la convergence des series de Fourier pour les groupes non abeliens et les groupes quantiques. Il est bien connu qu'un certain nombre de proprietes d'approximation de groupes peuvent etre interpretees comme des methodes de sommation et de convergence moyenne de series de Fourier non commutatives associees. Nous etablissons un critere general d'inegalites maximales pour les identites approximatives de multiplicateurs non commutatifs de Fourier. En consequence, nous prouvons que pour tout groupe denombrable discret moyennable, il existe une suite de fonctions definies positives a support fini, telle que les multiplicateurs de Fourier associes sur les espaces Lp non commutatifs satisfassent a la convergence ponctuelle. Nos resultats s'appliquent egalement a la convergence presque partout des series de Fourier de fonctions Lp sur des groupes compacts non-abeliens. D'autre part, nous obtenons des bornes independantes de la dimension pour les inegalites maximales de Hardy-Littlewood non commutatives dans l'espace a valeurs operateurs associees a des corps convexes.