Eléments de démonstration des conjectures de Collatz et de Kakutani

En 1928, Lothar Collatz, qui s'interessait aux iterations dans les nombres entiers posa le probleme 3m+1. Appele aussi suite de Syracuse, cela consiste a etudier le comportement de suite definie par ; Uo = N entier naturel et U(n+1) = Un/2 si Un pair, U(n+1) = 3Un+1 sinon. La conjecture affirme que pour tout N entier positif, il existe n tel que Un = 1 De nombreuses tentatives de demonstrations ont ete realisees ainsi que des travaux connexes a ce probleme sans pour autant arriver a une demonstration probante, des resultats partiels ont ete obtenus et des pistes interessantes explorees sans pour autant pousser les investigations jusqu'a leur terme. Paul Erdos disait que les mathematiques n'etaient pas encore pretes pour resoudre un tel probleme. Des resultats cependant interessants ont ete obtenus, comme celui montrant que la conjecture de Collatz pouvait se ramener a demontrer que toute suite de Syracuse finit par redescendre au dessous de son point de depart et que les cas Uo pair ou Uo = 4m +1 satisfaisaient bien la conjecture, et cela par une simple demonstration par recurrence. Notre approche se resume donc a demontrer que toute suite de Syracuse finit par passer au dessous de son point de depart en utilisant un raisonnement par recurrence forte et pour les cas qui resistent a ce point, de demontrer, en introduisant la notion de « suites confluentes », que toute suite de Syracuse commencant par un nombre de la forme 4m+3 finit par croiser une suite de Syracuse commencant par un nombre de la forme 4m+1 et que ces deux suites suivent la meme trajectoire a partir de ce point de confluence. Nous montrerons dans une seconde partie, que cette approche permet egalement de resoudre la conjecture de Kakutani expose par Oliveira (2010, [1]), qui est une generalisation de la conjecture de collatz et qui s'exprime ainsi : U(n+1) = Un/d si Un ≡ 0 [d], d appartient a finit D d'netiers natuels; U(n+1) = p.Un + 1 sinon. La conjecture de Collatz est un cas particulier de celle de Kakutani.