Medidas de riesgo en Finanzas
2009
A la luz de recientes acontecimientos nancieros as como de acuerdos de regulacion
nanciera (en particular, Basel II), se revela la necesidad del desarrollo de medidas de
riesgo apropiadas para diversos productos nancieros complejos. El calculo se debe realizar
de manera robusta, lo cual requiere la consideracion de diversos modelos para el mismo
problema. Asimismo, restricciones de tiempo requieren un calculo rapido dentro de la
posibilidad tecnologica disponible. En esta ponencia presentaremos el estado actual de la
investigacion sobre el calculo de riesgos en nanzas. Por un lado, existen diversas tecnicas
especializadas para modelos concretos y por otro las tecnicas generales que usualmente
no son optimas pero que permiten el estudio de diversos modelos.
En esta segunda opcion presentaremos aplicaciones del calculo de Malliavin desarrollado
en los a~nos 80 para el estudio de densidades de variables aleatorias generadas en el
espacio de Wiener. En particular, presentaremos las ideas principales en el calculo de las
medidas de riesgo en nanzas. El calculo de Malliavin es un calculo diferencial innito
dimensional en el espacio de Wiener. El concepto de derivada es una derivada de Frechet pero denida solo en determinadas direcciones que son importantes en el sentido de que
conservan las propiedades de la medida sobre el espacio de Wiener. Esta derivada tiene
un operador dual no acotado que genera una formula de integracion por partes. Esta
herramienta fundamental permite la expresion estocastica de la densidad de una variable
aleatoria cuya densidad no se puede calcular de forma explcita. Esta formula permite el
calculo de la densidad a traves del metodo de Monte Carlo. Asimismo, diversas tecnicas de
reduccion de varianza han sido desarrolladas para este metodo. Las medidas de riesgo mas
comunes son derivadas de esperanzas con respecto a diversos parametros. Las medidas
de sensibilidad tienen una relacion directa con las densidades, por lo que la utilizacion de
la formula de integracion por partes del calculo de Malliavin es posible.
En matematicas nancieras, la utilizacion de modelos con saltos es cada vez mas
frecuente como lo demuestran los modelos de varianza gamma, hiperbolicos, y gaussianos
inversos entre otros. Por esto la generalizacion del calculo de Malliavin y en particular
la formula de integracion por partes para procesos de Levy generados por distribuciones
innitamente divisibles es uno de los retos teoricos y practicos planteados. En el aspecto
teorico este problema se ha intentado resolver desde hace 40 a~nos con diversos resultados
parciales aunque estos resultados parciales no son sucientes para ser aplicados a los
modelos utilizados en nanzas. Recientemente, se han desarrollado tecnicas explcitas
para diversos modelos con saltos utilizando el cambio de medida de Escher as como la
propiedad de subordinacion de procesos de Levy en nanzas. Otro aspecto paralelo al
desarrollo de estas tecnicas ha sido la posibilidad de la aplicacion de estas tecnicas al
problema de calibracion en nanzas.
Puesto que diversos productos nancieros, cuyos precios son datos de Mercado, no
tienen formulas cerradas para diversos modelos, el problema de estimacion estadstica de
parametros es un problema complejo. Para la resolucion de este problema se han propuesto
tecnicas cuyo fundamento proviene de los desarrollos de Edgeworth para obtener soluciones
aproximadas al problema. Muchas de estas metodologas son solo heursticas y aguardan
un fundamento estadstico teorico, siendo este uno de los retos fundamentales para la
estadstica de procesos continuos en nanzas.
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