Combinatoire et algorithmique des factorisations tangentes à l'identité

La combinatoire a permis de resoudre certains problemes en Mathematiques, en Physique et en Informatique, en retour celles-ci inspirent des questions nouvelles a la combinatoire. Ce memoire de these intitule "Combinatoire et algorithme des factorisations tangentes a l'identite" regroupe plusieurs travaux sur la combinatoire des deformations du produit de Shuffle. L'objectif de cette these est d'ecrire des factorisations dont le terme principal est l'identite a travers l'utilisation d'outils portant principalement sur la combinatoire des mots (ordres, graduation etc.). Dans le cas classique, soit F une algebre libre. En raison du fait que F est une algebre enveloppante, on a une factorisation exacte de l'identite de End(F) = F*⨶F comme un produit infini d'exponentielles (End(F) etant muni du produit de Shuffle sur la gauche et de la concatenation sur la droite, une representation fidele du produit de convolution). La procedure est la suivante : premierement on commence avec une base de Poincare-Birkhoff-Witt, deuxiemement on calcule la famille des formes coordonnees et alors les proprietes (combinatoires) non triviales de ces familles en dualite donne la factorisation. Si on part de l'autre cote, l'ecriture pour le meme produit ne donne exactement l'identite que sous des conditions tres restrictives que nous precisons ici. Dans de nombreux autres cas (deformes), la construction explicite des paires de bases en dualite necessite une etude combinatoire et algorithmique que nous fournissons dans ce memoire.