We say that two knots are friends if they share the same 0-surgery. Two friends with different sliceness status would provide a counterexample to the 4-dimensional smooth Poincar\'e conjecture. Here we create a census of all friends with small crossing numbers c and tetrahedral complexities t, and compute their smooth 4-genera. In particular, we compute the minimum of c(K)+c(K') and of t(K)+t(K') among all friends K and K'. Along the way, we classify all 0-surgeries of knots of at most 15 crossings.
Let { P n ( z )} be a sequence of polynomials satisfying a linear homogeneous recursion whose coefficients are polynomials in z . Necessary and sufficient conditions are found, subject to mild nondegeneracy conditions, that a number x be a limit of zeroes of { P n } in the sense that there is a sequence { z n } with P n ( z n ) = 0, z n → x . An application is given to a family of polynomials arising in a map-coloring problem.
Le point de depart de cette these est une version instable de la conjecture de Lichtenbaum et Quillen qui dit que la cohomologie modulo 2 du classifiant des groupes lineaires definis sur Z[1/2] serait detectee par la cohomologie du classifiant du sous-groupe des matrices diagonales de ces groupes lineaires. On sait que la conjecture est vraie pour n=1, 2 et 3, mais qu'elle est fausse a partir de n=14. On peut montrer que si la conjecture est vraie pour n=4, alors necessairement, il existe un certain carre cartesien en cohomologie a coefficients dans F_2 dans lequel apparait le classifiant du groupe GL_2(Z[i,1/2]). L'espoir initial, motive par des idees de Henn et Lannes, etait que la cohomologie a coefficients dans F_2 de BGL_2(Z[i,1/2]) rendrait ce carre non cartesien, invalidant de ce fait la conjecture de Lichtenbaum et Quillen des n=4. Nous avons calcule la cohomologie a coefficients dans F_2 de BGL_2(Z[i,1/2]) et montre que le carre cartesien sus-nomme est bien cartesien. La conjecture a ainsi passe un test avec succes et a encore des chances d'etre vraie pour n=4. En tout cas, la recherche d'un contre-exemple est plus delicate qu'on aurait pu l'esperer. Les moyens utilises pour effectuer le calcul de H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) ont ete la construction d'un certain espace Z sur lequel le groupe PSL_2(Z[i]) agit avec de bonnes proprietes, et le calcul de H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) et H*(BGo,F_2) ou Go est un certain sous-groupe de PSL_2(Z[i]) tel qu'on ai la decomposition en somme amalgamee PSL_2(Z[i,1/2])=PSL_2(Z[i])*_Go PSL_2(Z[i]). On obtient ensuite H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) en etudiant certains morphismes de H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) vers H*(BGo,F_2) et plusieurs suites spectrales.
